二阶常系数非齐次微分方程求解

设有二阶常系数非齐次微分方程

$$y'' + py' + qy = f(x)$$

考虑非齐次方程的通解由两部分组成：

$$y = y_{h} + y^*$$

其中 $y_{h}$ 为齐次方程 $y'' + py' + y = 0$ 的通解，$y^*$ 为非齐次特解。

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首先求齐次方程的通解：

设有特征方程

$$r^2 + pr + q = 0$$

对特征根的存在情况进行分类：

判别式 $\Delta = p^{2} - 4q$	特征根情况	齐次通解 $y_{h}$
$\Delta > 0$	两个不同实根 $r_{1}, r_{2}$	$C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}$
$\Delta = 0$	两个相同实根 $r$	$(C_{1} + C_{2} x) e^{rx}$
$\Delta < 0$	一对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x}(C_{1} cos \beta x + C_{2} sin \beta x)$

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随后求非齐次方程的特解，我们根据 $f(x)$ 的形式进行预期设解。

$f(x)$	$y^*$ 预设形式
$P_{n}(x)$	$x^{k} Q_{n} (x)$
$P_{n}(x) e^{\lambda x}$	$x^{k} Q_{n}(x) e^{\lambda x}$
$e^{\lambda x} [P_{l}(x) cos \omega x + P_{m}(x) sin \omega x]$	$x^{k} e^{\lambda x} [R_{n}(x) cos \omega x + S_{n}(x) sin \omega x]$，其中 $n = \text{max}(l, m)$

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其中对于 $k$ ，即为特征根与 $f(x)$ 中指数部分 $(\lambda + \omega i)$ 的重合次数。

• 如果 $\lambda + \omega i$ 不是特征方程的根， $k = 0$
• 如果 $\lambda + \omega i$ 是特征方程的单根， $k = 1$
• 如果 $\lambda + \omega i$ 是特征方程的重根， $k = 2$

其中对于所谓指数部分，即

$$e^{\lambda + \omega i} = e^{\lambda} \cdot e^{\omega i}$$

有欧拉公式：

$$e^{\lambda} (cos \omega + i sin \omega)$$

欧拉公式的本质，是将微分这个高成本的操作，转化为乘法这个低成本的操作。

对于方程

$$y'' + py' + qy = e^{\lambda x} cos (\omega x)$$

将其视为复指数函数的实部

$$y'' + py' + qy = \text{Re} [e^{(\lambda + \omega i) x}]$$